jueves, 11 de febrero de 2016

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Probabilidad

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La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La probabilidad es un evento o suceso que puede ser improbable, probable o seguro.
La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina a los experimentos o fenómenos aleatorios.
En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria, la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria.
La distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada x real es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x".
En probabilidades y estadísticas, la distribución normal logarítmica es una distribución de probabilidad de una variable aleatoria cuyo logaritmo está normalmente distribuido. Es decir, si X es una variable aleatoria con una distribución normal, entonces exp(X) tiene una distribución log-normal.
La base de una función logarítmica no es importante, ya que loga X está distribuida normalmente si y sólo si logb X está distribuida normalmente, sólo se diferencian en un factor constante.
Log-normal también se escribe log normal o lognormal.
Una variable puede ser modelada como log-normal si puede ser considerada como un producto multiplicativo de muchos pequeños factores independientes. Un ejemplo típico es un retorno a largo plazo de una inversión: puede considerarse como un producto de muchos retornos diarios.
La distribución log-normal tiende a la función densidad de probabilidad
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Herramientas de la matemática financiera

El valor actual neto

, también conocido como valor actualizado neto o valor presente neto cuyo acrónimo es VAN (en inglés, NPV), es un procedimiento que permite calcular el valor presente de un determinado número de flujos de caja futuros, originados por una inversión. La metodología consiste en descontar al momento actual (es decir, actualizar mediante una tasa) todos los flujos de caja  futuros o en determinar la equivalencia en el tiempo 0 de los flujos de efectivo futuros que genera un proyecto y comparar esta equivalencia con el desembolso inicial. Dicha tasa de actualización (k) o de descuento (d) es el resultado del producto entre el coste medio ponderado de capital (CMPC) y la tasa de inflación del periodo. Cuando dicha equivalencia es mayor que el desembolso inicial, entonces, es recomendable que el proyecto sea aceptado.
En las transacciones internacionales es necesario aplicar una tasa de inflación particular, tanto, para las entradas (cobros), como, para las de salidas de flujos (pagos). La condición que maximiza el margen de los flujos es que la economía exportadora posea un IPC inferior a la importadora, y viceversa.
La fórmula que nos permite calcular el Valor Actual Neto es:
\mbox{VAN} = \sum_{t=1}^n{\frac{V_t}{(1+k)^t}}- I_0
V_t  representa los flujos de caja en cada periodo t.
I_0  es el valor del desembolso inicial de la inversión.
n es el número de períodos considerado.
k es el tipo de interés.

El valor del dinero en el tiempo   
 es un concepto económico basado en la premisa de que un inversor prefiere recibir un pago de una suma fija de dinero hoy, en lugar de recibir el mismo valor nominal en una fecha futura.
En particular, si se recibe hoy una suma de dinero, se puede obtener interés sobre ese dinero. Adicionalmente, debido al efecto de inflación, en el futuro esa misma suma de dinero perderá poder de compra.Algunos de los cálculos comunes basados en el valor tiempo del dinero son:
  • Valor presente (PV) de una suma de dinero que será recibida en el futuro.
  • Valor presente de una anualidad  (PVA) es el valor presente de un flujo de pagos futuros iguales, como los pagos que se hacen sobre una hipoteca.
  • Valor presente de una perpetuidad es el valor de un flujo de pagos perpetuos, o que se estima no serán interrumpidos ni modificados nunca.
  • Valor futuro (FV) de un monto invertido (por ejemplo, en una cuenta de depósito) a una cierta tasa de interés.
  • Valor futuro de una anualidad (FVA) es el valor futuro de un flujo de pagos (anualidades), donde se asume que los pagos se reinvierten a una determinada tasa de interés.


Anualidad
es una sucesión de pagos, depósitos o retiros, generalmente iguales, que se realizan en períodos regulares de tiempo, con interés compuesto. El término anualidad no implica que las rentas tengan que ser anuales, sino que se da a cualquier secuencia de pagos, iguales en todos los casos, a intervalos regulares de tiempo, e independientemente que tales pagos sean anuales, semestrales, trimestrales o mensuales.
Cuando en un país hay relativa estabilidad económica, es frecuente que se efectúen operaciones mercantiles a través de pagos periódicos, sea a interés simple o compuesto, como en las anualidades.

Elementos de una anualidad

En una anualidad intervienen los siguientes elementos:
  • Renta: Es el pago, depósito o retiro, que se hace periódicamente.
  • Renta anual: Suma de los pagos hechos en un año.
  • Plazo: Es la duración de la anualidad. El número de veces que se cobra o se paga la renta.
  • Periodo de pago: Es el tiempo que transcurre entre un pago y otro.

Capitalización continua 
es una formula que nos ayuda calcular el valor presente y el valor futuro de cierta cantidad con intereses que se ven acumulando es decir, los interese que se ganan en un periodo más la cantidad inicial, se volverán a invertir en el siguiente periodo y así sucesivamente, es por esto que se considera un tipo de capitalización compuesta. La diferencia radica en que los periodos de capitalización son demasiado cortos, casi instantáneos es por esto que se le llama "Capitalización Continua" por que es casi continua la capitalización de intereses.
Las fórmulas para obtener el valor futuro y presente de la capitalización continua son:3
M \ = \,C \left( {1+\frac{i}{m}} \right)^{mt}

v \ = \ \frac{m}{i}
M\,=\,C\left[ \left(1+ \frac{i}{m}\right)^v \, \right]^{it}
\lim_{v \to \, \infty}\,C\left[ \left(1+ \frac{i}{m}\right)^v \, \right]^{it} \ = \,C e^{it}

Donde:
  • M = Valor Futuro
  • C = Valor Presente
  • i = Tasa Efectiva
  • m = Periodicidad
  • t = Tiempo
Por lo tanto simplificando la fórmula, el valor futuro y el valor presente calculado a una tasa instantánea o de capitalización continua será:2
M\ = \,C e^{it}
C\, = \frac{M}{e^{it}}
Convertibilidad de las tasas
  • Tasa nominal: Es la tasa que rige durante el lapso que dure la operación. Por ejemplo una tasa anual convertible semestralmente también se le conoce como TIN por sus siglas "Tasa de interés nominal"
  • Tasa efectiva: Como su nombre lo dice es la tasa que efectivamente se ganó, en otras palabras, es la tasa anual convertible anualmente también se le conoce como TAE por sus siglas "Tasa anual equivalente"
  • Tasas equivalentes: Son aquellas que producen el mismo interés compuesto.
Entendiendo lo anterior, convertir una tasa significa encontrar la tasa efectiva cuando tenemos una tasa nominal, o viceversa, encontrar la tasa nominal con una tasa efectiva, a estas dos tasa se llamaran tasas equivalentes ya que las dos producen el mismo interés compuesto.


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mira lo que sucuede

¿Qué Pasa si Pides un Crédito ?

Si estas pidiendo un préstamo, usando una tarjeta de crédito por ejemplo, de 3.000 euros con un tipo de interés del 25%.

En principio puede parecer que tienes que pagar unos intereses al final del año de 750 euros pero esto no es así. Con el interés compuesto debes un total de 3.850 euros, 100 euros más que con el interés simple.
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¿ Qué Pasa si Ahorras en un Depósito ?

Por otra parte, si estás ahorrando dinero veamos que ocurre. Si tienes 5.000 euros en un depósito al 5,00% de interés al final del año tendrás 5.250 euros aproximadamente.
Pero si retiras el dinero a los 6 meses por ejemplo, no tendrá esa cantidad sin un poco menos, un 4,929% de interés. Por lo que tendrás 5.246,45 euros.
Con muchas cuentas y muchos clientes el banco obtiene un beneficio sin esfuerzo que puede usar para otras inversiones.
Las cantidades resultantes en cada ejemplo son aproximadas y no he tenido en cuenta el cálculo de impuestos para no complicar en exceso los ejemplos. Lo importante es que entiendas la diferencia entre ambos tipos de interés, tanto a la hora de ahorrar como de pedir un crédito
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¿Cómo Funciona el Interés Compuesto?

 

Veamos un ejemplo. Como antes cojamos 1.000 euros al 5,00% de interés. Con el interés simple vimos que el total de intereses es de 50 euros al final del año. Pero usando si usamos el interés compuesto el cálculo es un poco más complicado, ya que tenemos que calcular el saldo al final de cada mes.
Empezamos con 1.000 euros al inicio del primer mes, con un 5,00% de interés. Al final del primer mes se habrán ganado 1/12 de los intereses que debes ganar en el año. Es decir, 1/12 parte de 50 euros. Aproximadamente 4,17 euros.
Para el siguiente mes, sumamos esta cantidad a los 1.000 euros, quedando un saldo inicial de 1.004,17 euros. Repetimos esta operación cada mes (durante el segundo mes, lo que ganas es 1/12 parte de 1.004,17 euros, etc.).
Al final del año tendremos 1.000 euros de capital y 51,16 euros de intereses. 1,16 euros más de beneficio que si hubiéramos usado el interés simple.
Si aumentas el capital o el tipo de interés, la diferencia entre interés simple y el interés compuesto es aún mayor.
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¿Como funciona el interés simple?

¿ Cómo Funciona el Interés Simple ?

La mayoría de la gente cree que todas las tasas de interés funcionan como el interés simple. El interés simple funciona de la siguiente forma. Si tienes 1.000 euros y los metes en un depósito al 5,00% de interés el resultado es de 50 euros.
Es lo que se nos enseña en el colegio y lo que esta arraigado en nuestra mente. Sin embargo no es el método que la mayoría de empresas utilizan en el cálculo de los intereses.
Si crees que todos los tipos de interés trabajan como el interés simple vas a perder mucho dinero.
Entonces ¿qué otras formas existen para calcular el interés? Muchas empresas, como bancos y compañías de tarjetas de crédito usan el interés compuesto para calcular los intereses totales.
Esta forma de calcular los intereses es muy beneficiosa para estas empresas y bastante menos para los consumidores.
La mayoría de las empresas realizan para un interés compuesto y además compuesto de forma mensual.
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Diferencias entre interés simple y compuesto

Diferencias entre interés simple y compuesto


  • Cuando el interés se paga periódicamente, no puede existir el interés compuesto. Generalmente se utiliza el interés simple en operaciones de corto plazo, menores de 1 año y el interés compuesto en operaciones a corto y largo plazo.
De la gráfica se observa que el interés simple crece linealmente, se calcula sobre el capital original que permanece constante, el interés obtenido en cada intervalo unitario es el mismo. El interés simple no capitaliza. Las operaciones con interés compuesto, crecen exponencialmente, los intereses generan nuevos intereses en períodos siguientes, la tasa es constante durante el plazo de la deuda, pero el capital aumenta a intervalos regulares. 
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Existen tres casos en los que la aplicación del interés simple y del compuesto en el cálculo de los intereses dan resultados menores, iguales o mayores:

a) Períodos de capitalización inferiores a la unidad de referencia  

En estos casos, los intereses calculados con el interés simple son mayores a los calculados con el interés compuesto. 
b) Períodos de capitalización iguales  
En estos casos, ambas fórmulas dan resultados idénticos.  

c) Períodos de capitalización mayores a un periodo de interés 
 En estos casos, el interés que se calcula con la fórmula del interés compuesto es mayor al que se obtiene con la fórmula del interés simple. 
 
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